# 直和的概念

对于三个线性空间 $V, V_1, V_2$，若有 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，$V_1 \cap V_2 = \{ 0 \}$，$\dim V_1 + \dim V_2 = \dim V$，则称 $V$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和，记作 $V = V_1 \oplus V_2$。此时，对于 $\forall \, \alpha \in V$，$\alpha$ 均可由 $V_1, V_2$ 中的向量线性表出。

# 习题

1. 在数域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$ 中，$a, b \in \mathbb F$，$\alpha, \beta, \gamma \in V$，求证：

   (1) $\alpha + \beta = \gamma \Leftrightarrow \alpha = \gamma - \beta$

   (2) $a (\alpha - \beta) = a \alpha - a \beta, (a + b) (\alpha + \beta) = a \alpha + a \beta + b \alpha + b \beta$

   (3) $(a - b) \alpha = a \alpha - b \alpha, (a - b) (\alpha - \beta) = a \alpha - a \beta - b \alpha + b \beta$

   (1) 证明：“$\Rightarrow$”：等式两边同时减去 $\beta$ 可得：

   $$\alpha = \gamma - \beta$$

   “$\Leftarrow$”：将 $\alpha = \gamma - \beta$ 代入 $\alpha + \beta$ 得：

   $$\alpha + \beta = \gamma - \beta + \beta = \gamma$$

   (2) 证明：由线性空间上的乘法分配律可知：

   $$a (\alpha - \beta) = a \alpha - a \beta \\ (a + b)(\alpha + \beta) = a(\alpha + \beta) + b(\alpha + \beta) = a \alpha + a \beta + b \alpha + b \beta$$

   (3) 证明：由线性空间上的乘法分配律可知：

   $$(a - b) \alpha = a \alpha - b \alpha \\ (a - b) (\alpha - \beta) = a (\alpha - \beta) - b (\alpha - \beta) = a \alpha - a \beta - b \alpha + b \beta$$

2. 令 $V = \{ (a, b) | a, b \in \R \}$，定义 $V$ 上加法和数乘运算如下：

   加法 $\oplus$：$(a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 b_2)$；

   数乘 $\circ$：$k \circ (a_1, b_1) = (k a_1, k b_1), k \in \R$

   问：$V$ 对于规定的加法 “$\oplus$” 和数乘 “$\circ$” 运算是否构成 $\R$ 上的线性空间？

   解：对于 $\forall \, (a_1, b_1), (a_2, b_2) \in V, k \in \R$，显然有 $a_1 + a_2 \in R, b_1 b_2 \in R, k a_1 \in R, k b_1 \in R$，因此有 $(a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 b_2) \in V, k (a_1, b_1) = (k a_1, k b_1) \in V$，因此 $V$ 构成 $\R$ 上的线性空间。

3. 求证：

   (1) 若将复数域 $\mathbb C$ 视为实数域 $\R$ 上的线性空间，则 $1 + i, 1 - i$ 是线性无关的；

   (2) 若将复数域 $\mathbb C$ 视为实数域 $\mathbb C$ 上的线性空间，则 $1 + i, 1 - i$ 是线性相关的。

   (1) 证明：不存在一个实数 $x$，使 $1 + i = x (1 - i)$，因此 $1 + i, 1 - i$ 是线性无关的。

   (2) 证明：存在复数 $-i$，使 $1 - i = (-i) (1 + i)$，因此 $1 + i, 1 - i$ 是线性相关的。

4. 问：

   (1) 将复数域 $\mathbb C$ 视为实数域 $\R$ 上的线性空间时，维数是多少？并找出它的一组基。

   (2) 将复数域 $\mathbb C$ 视为复数域 $\mathbb C$ 上的线性空间时，维数是多少？并找出它的一组基。

   (1) 解：维数是 $2$，一组基是 $1, i$。

   (2) 解：维数是 $1$，一组基是 $1$，任何复数 $x = a + bi$ 都可表示为 $x = (a + bi) \times 1$。

5. 设所有次数小于 $4$ 的一元实系数多项式构成的线性空间

   $$\R [x]_4 = \{ a_3 x_3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 | a_3, a_2, a_1, a_0 \in \R \}$$

   第 $\text I$ 组基为 $1, x, x^2, x^3$，第 $\text {II}$ 组基为 $1, 1 + x, 1 + x + x^2, 1 + x + x^2 + x^3$，

   (1) 求由第 $\text I$ 组基到第 $\text {II}$ 组基的过渡矩阵。

   (2) 求多项式 $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$ 在第 $\text {II}$ 组基下的坐标。

   (3) 若一个多项式在第 $\text {II}$ 组基下的坐标为 $(1, 2, 3, 4)$，求它在第 $\text {I}$ 组基下的坐标。

   (1) 解：由题可列出方程组：

   $$\begin {cases} a_{1, 1} + a_{1, 2} x + a_{1, 3} x^2 + a_{1, 4} x^3 = 1 \\ a_{2, 1} + a_{2, 2} x + a_{2, 3} x^2 + a_{2, 4} x^3 = 1 + x \\ a_{3, 1} + a_{3, 2} x + a_{3, 3} x^2 + a_{3, 4} x^3 = 1 + x + x^2 \\ a_{4, 1} + a_{4, 2} x + a_{4, 3} x^2 + a_{4, 4} x^3 = 1 + x + x^2 + x^3 \end {cases}$$

   由此可解得过渡矩阵为：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}$$

   (2) 解：设坐标为 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$，则可列出如下方程组：

   $$\begin {cases} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 \\ a_2 + a_3 + a_4 = 2 \\ a_3 + a_4 = 3 \\ a_4 = 4 \end {cases}$$

   解得：

   $$\begin {cases} a_1 = -1 \\ a_2 = -1 \\ a_3 = -1 \\ a_4 = 4 \end {cases}$$

   则多项式 $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$ 在第 $\text {II}$ 组基下的坐标为 $(-1, -1, -1, 4)$。

   (3) 解：由坐标转换公式可得，它在第 $\text I$ 组基下的坐标为：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \\ 4 \end {pmatrix}$$

   即坐标为 $(10, 9, 7, 4)$

6. 给定 $\R^4$ 的子空间 $W_1$ 的基 $\{ \alpha_1, \alpha_2 \}$ 和子空间 $W_2$ 的基 $\{ \beta_1, \beta_2 \}$，其中

   $$\begin {cases} \alpha_1 = (1, 2, 1, 0) \\ \alpha_2 = (-1, 1, 1, 1) \end {cases}, \begin {cases} \beta_1 = (2, -1, 0, 1) \\ \beta_2 = (1, -1, 3, 7) \end {cases}$$

   (1) 求 $W_1 + W_2$ 的维数并求出一组基。

   (2) 求 $W_1 \cap W_2$ 的维数并求出一组基，并将它扩充为 $W_1 + W_2$ 的一组基。

   (1) 解：将 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 排成列向量矩阵并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(1) + (2), -(1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2, 4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(2) + (3), -3(2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & -12 \\ 0 & 0 & -8 & -24 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(3) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$$

   因此 $W_1 + W_2$ 的维数为 $3$，一组基为 $\{ \alpha_1, \alpha_2, \beta_1 \}$。

   (2) 解：设 $X \in W_1 \cap W_2$，不妨设 $X = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2$，则有如下方程组成立：

   $$\begin {cases} x_1 - x_2 = 2 y_1 + y_2 \\ 2 x_1 + x_2 = - y_1 - y_2 \\ x_1 + x_2 = 3 y_2 \\ x_2 = y_1 + 7 y_2 \end {cases}$$

   写出上述方程的系数矩阵并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(1) + (2), -(1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2, 4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 5 & 3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(2) + (3), -3(2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 8 & 24 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(3) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {\frac 1 4 (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {2(3) + (1), (3) + (2)} \quad \begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2) + (1)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$$

   即方程组通解为：

   $$(x_1, x_2, y_1, y_2) = (- y_2, 4 y_2, -3 y_2, y_2)$$

   则 $X = (-5 y_2, 2 y_2, 3 y_2, 4 y_2)$，$W_1 \cap W_2$ 的维数为 $1$，一组基为 $(-5, 2, 3, 4)$。扩充的一组基为 $\{ \alpha_1, \beta_1, (-5, 2, 3, 4) \}$。

7. 设 $W_1, W_2$ 分别是数域 $\R$ 上的线性方程组

   $$\begin {cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 + 2 x_3 + x_4 = 0 \end {cases} 与 \begin {cases} x_1 + 2 x_2 + 4 x_3 + 2 x_4 = 0 \\ x_2 + 4 x_3 + 3 x_4 = 0 \end {cases}$$

   的解空间，分别求 $W_1 + W_2$ 与 $W_1 \cap W_2$ 的维数并各求一组基。

   解：写出第一个方程组的系数矩阵并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-(2) + (1)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end {pmatrix}$$

   则可得出：

   $$X_1 = t_1 \begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} + t_2 \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}$$

   写出第二个方程组的系数矩阵并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(2) + (1)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & -4 & -4 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \end {pmatrix}$$

   则可得出：

   $$X_2 = t_3 \begin {pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} + t_4 \begin {pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}$$

   将两个解空间的一组基向量排成列向量矩阵，并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ -2 & -1 & -4 & -3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {2 (1) + (2), -(1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2) + (3), -(2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {4(3) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$$

   由此可知 $W_1 + W_2$ 维数为 $3$，一组基为 $\{ (1, -2, 1, 0), (1, -1, 0, 1), (4, -4, 1, 0) \}$。设：

   $$X = t_1 \begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} + t_2 \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} = t_3 \begin {pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} + t_4 \begin {pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}$$

   则可得到如下方程组：

   $$\begin {cases} t_1 + t_2 - 4 t_3 - 4 t_4 = 0 \\ -2 t_1 - t_2 + 4 t_3 + 3 t_4 = 0 \\ t_1 - t_3 = 0 \\ t_2 - t_4 = 0 \end {cases}$$

   列出上述方程的系数矩阵并进行初等行变换：

   $$\begin {pmatrix} 1 & 1 & -4 & -4 \\ -2 & -1 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {2(1) + (2), -(1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2) + (3), -(2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {4(3) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-(3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {4(3) + (1), 4(3) + (2)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-(2) + (1)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$$

   解得：

   $$\begin {cases} t_1 = - t_4 \\ t_2 = t_4 \\ t_3 = - t_4 \end {cases}$$

   则 $X$ 可写作：

   $$X = t_3 \begin {pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} + t_4 \begin {pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} = t_4 \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}$$

   因此 $W_1 \cap W_2$ 维数为 $1$，一组基为 $\{ (0, 1, -1, 1) \}$。

8. 设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间使得 $V = U \oplus W$，并设 $u_1, \cdots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, \cdots, w_n$ 是 $W$ 的基。求证：$u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_n$ 是 $V$ 的基。

   证明：由题，$U \cap W = \{ 0 \}$，对于 $\forall \, \alpha \in V$，都有 $\alpha$ 可由 $u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_n$ 表出。下证唯一性。
   不妨设 $\alpha \in U$，则当 $w_1, \cdots, w_n$ 系数均取零时，$\alpha$ 仅能由 $u_1, \cdots, u_m$ 唯一表出。若还存在一种表示方式 $\alpha = a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m + b_1 w_1 + \cdots + b_n w_n$，则应有 $a_1, \cdots, a_m$ 不全为 $0$，$b_1, \cdots, b_n$ 不全为 $0$。不妨设 $a_1 \not = 0$，此时有 $u_1 = \dfrac 1 {a_1} \alpha - \dfrac {a_2} {a_1} u_2 - \cdots - \dfrac {a_m} {a_1} u_m - \dfrac {b_1} {a_1} w_1 - \cdots - \dfrac {b_n} {a_1} w_n$，其中 $- \dfrac {b_1} {a_1}, \cdots, - \dfrac {b_n} {a_1}$ 不全为 $0$，不妨设 $- \dfrac {b_1} {a_1} \not = 0$。由于 $\dim U = m$，则向量组 $\{ \alpha, u_2, \cdots, u_m, w_1 \}$ 必然线性相关，即 $w_1$ 可由 $\alpha, u_2, \cdots, u_m$ 线性表出，$w_1 \in U$，矛盾，假设不成立。
   因此 $\alpha$ 存在唯一表示方式，$u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_n$ 构成 $V$ 的一组基。

9. 设 $V_1, V_2$ 分别是数域 $\mathbb F$ 上齐次线性方程组 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 与 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 的解空间。求证：$\mathbb F^n = V_1 \oplus V_2$。

   证明：$V_1$ 中的解可写作：

   $$X_1 = t_1 \begin {pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {pmatrix} + t_2 \begin {pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end {pmatrix} + \cdots + t_{n - 1} \begin {pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end {pmatrix}$$

   $V_2$ 中的解可写作：

   $$X_2 = t_n \begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end {pmatrix}$$

   若存在 $X \in V_1, X \in V_2, X \not = 0$，则有如下方程组成立：

   $$\begin {cases} -t_1 - t_2 - \cdots - t_{n - 1} = t_n \\ t_1 = t_n \\ t_2 = t_n \\ \cdots \\ t_{n - 1} = t_n \end {cases}$$

   上述方程存在唯一解 $(0, 0, \cdots, 0)$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{ 0 \}$。又由于 $\dim V_1 = n - 1, \dim V_2 = 1, \dim \mathbb F^n = n, \dim V_1 + \dim V_2 = \dim \mathbb F^n$，因此有 $\mathbb F^n = V_1 \oplus V_2$。