# 微分的定义

微分的实质：微分 $\mathrm d y$ 叫做函数增量 $\Delta y$ 的线性主部。

注：

1. $\mathrm d y$ 是自变量的改变量 $\Delta x$ 的线性函数；

2. $\Delta y - \mathrm d y = o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶无穷小；

3. 当 $A \not = 0$ 时，$\mathrm d y$ 是 $\Delta y$ 的等价无穷小；

4. 当 $|\Delta x|$ 很小时，$\Delta y \approx \mathrm d y$（线性主部）。

# 可微的条件

定理 $1$：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $A = f'(x_0)$。

证明：(1) 必要性：因为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，所以 $\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x), \dfrac {\Delta y} {\Delta x} = A + \dfrac {o(\Delta x)} {\Delta x}$。则：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = A + \lim_{\Delta x \to 0} \frac {o(\Delta x)} {\Delta x} = A$$

即函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且 $A = f'(x_0)$。

(2) 充分性：因为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {\Delta y} {\Delta x} = f'(x_0)$，即 $\dfrac {\Delta y} {\Delta x} = f'(x_0) + \alpha, \alpha \to 0 (\Delta x \to 0)$，从而：

$$\Delta y = f'(x_0) \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x = f'(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)$$

即函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，且 $f'(x_0) = A$。所以可导 $\Leftrightarrow$ 可微，$A = f'(x_0)$。

函数 $y = f(x)$ 在任意点 $x$ 的微分，称为函数的微分，记作 $\mathrm d y$ 或 $\mathrm d f(x)$，即 $\mathrm d y = f'(x) \Delta x$。

注：

1. 函数 $y = x$ 的微分为 $\mathrm d y = \mathrm d x = 1 \Delta x$，即 $\mathrm d x = \Delta x$。所以 $\mathrm d y = f'(x) \mathrm d x$，即 $\dfrac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = f'(x)$。

   即函数的微分 $\mathrm d y$ 与自变量的微分 $\mathrm d x$ 之商等于该函数的导数。导数也叫 “微商”。

2. 微分学所要解决的两类问题：

   $$\begin {cases} 函数的变化率问题 \to 导数的概念 \\ 函数的增量问题 \to 微分的概念 \end {cases}$$

3. 导数与微分的联系：可导 $\Leftrightarrow$ 可微。

# 微分的几何意义

当 $\Delta y$ 是曲线的纵坐标增量时，$\mathrm d y$ 就是切线纵坐标对应的增量。当 $|\Delta x|$ 很小时，在点 $M$ 的附近，切线段 $MP$ 可以近似代替曲线段 $MN$，即：

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x \\ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x (\Delta x 很小时)$$

# 基本微分公式与微分运算法则

$$\begin {matrix} \mathrm d c = 0 & \mathrm d (x^\mu) = \mu x^{\mu - 1} \mathrm d x \\ \mathrm d (\sin x) = \cos x \mathrm d x & \mathrm d (\cos x) = - \sin x \mathrm d x \\ \mathrm d (\tan x) = \sec^2 x \mathrm d x & \mathrm d (\cot x) = - \csc^2 x \mathrm d x \\ \mathrm d (\sec x) = \sec x \tan x \mathrm d x & \mathrm d (\csc x) = - \csc x \cot x \mathrm d x \\ \mathrm d (a^x) = a^x \ln a \mathrm d x & \mathrm d (e^x) = - \csc x \cot x \mathrm d x \\ \mathrm d (\log_a x) = \dfrac 1 {x \ln a} \mathrm d x & \mathrm d (\ln x) = - \dfrac 1 x \mathrm d x \\ \mathrm d (\arcsin x) = \dfrac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \mathrm d x & \mathrm d (\arccos x) = - \dfrac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \mathrm d x \\ \end {matrix}$$

定理 $2$（微分的四则运算性质）：设函数 $f(x), g(x)$ 在点 $x$ 可微，则

1. $\mathrm d (f(x) + g(x)) = \mathrm d f(x) + \mathrm d g(x)$；

2. $\mathrm d (f(x)g(x)) = \mathrm d f(x) g(x) + f(x) \mathrm d g(x)$；

3. $\mathrm d \left( \dfrac {f(x)} {g(x)} \right) = \dfrac {g(x) \mathrm d f(x) - f(x) \mathrm d g(x)} {g^2(x)}, g(x) \not = 0$。

# 微分形式的不变性

设函数 $y = f(x)$ 有导数 $f'(x)$，

1. 若 $x$ 是自变量时，$\mathrm d y = f'(x) \mathrm d x$；

2. 若 $x$ 是中间变量时，即另一变量 $t$ 的可微函数 $x = \varphi (t)$，则 $\mathrm d y = f'(x) \varphi' (t) \mathrm d t = f'(x) \mathrm d x$。

结论：无论 $x$ 是自变量还是中间变量，函数 $y = f(x)$ 的微分形式总是 $\mathrm d y = f'(x) \mathrm d x$，即微分形式的不变性。

# 高阶微分

一阶微分：$\mathrm d y = \mathrm d f(x) = f'(x) \mathrm d x$（有形式不变性）

二阶微分：$\mathrm d^2 y = \mathrm d^2 f(x) = f''(x) \mathrm d x^2$（没有形式不变性）

$n$ 阶微分：$\mathrm d^n y = \mathrm d^n f(x) = f^{(n)}(x) \mathrm d x^n$

# 习题

1. 填空：

   (1) $\mathrm d ($ $) = \dfrac {\mathrm d x} {x}$

   (2) $\mathrm d ($ $) = \dfrac {\mathrm d x} {\sqrt x}$

   (3) $\mathrm d ($ $) = (\cos x + \sin x) \mathrm d x$

   (4) $\mathrm d ($ _____ $) = e^{-ax} \mathrm d x$

   (5) $\mathrm d ($ $) = \dfrac {\mathrm d x} {x \ln x}$

   (6) $\mathrm d ($ _____ $) = \cos^2 x \sin x \mathrm d x$

   (1) $\ln x + C$

   (2) $2 \sqrt x + C$

   (3) $\sin x - \cos x + C$

   (4) $- \dfrac 1 a e^{-ax} + C$

   (5) $\ln \ln x + C$

   (6) $- \dfrac 1 3 \cos^3 x + C$

   求不定积分记得加常数 $C$

2. 求下列函数的一阶和二阶微分：

   (1) $y = x^4 + 5x$

   (2) $y = x \ln x$

   (3) $y = \dfrac {u + 1} {u - 1}$

   (4) $y = \sqrt {x + \ln x}$

   (5) $y = x^2 e^{3x}$

   (6) $y = \sin x^2$

   (1) 解：

   $$\mathrm d y = (4x^3 + 5) \mathrm d x \\ \mathrm d^2 y = 12 x^2 \mathrm d x^2$$

   (2) 解：

   $$\mathrm d y = (\ln x + 1) \mathrm d x \\ \mathrm d^2 y = \dfrac {\mathrm d x^2} x$$

   (3) 解：

   $$\mathrm d y = - \frac {2 \mathrm d u} {(u - 1)^2} \\ \mathrm d^2 y = \frac {4 \mathrm d u^2} {(u - 1)^3}$$

   (4) 解：

   $$\mathrm d y = \frac {(x + 1) \mathrm d x} {2x \sqrt {x + \ln x}} \\ \mathrm d^2 y = - \frac {(x + \ln x) + (x + 1)^2} {2x^2 (x + \ln x)^{\frac 3 2}} \mathrm d x$$

   (5) 解：

   $$\mathrm d y = (3x^2 + 2x) e^{3x} \mathrm d x \\ \mathrm d^2 y = (9x^2 + 12x + 2) e^{3x} \mathrm d x^2$$

   (6) 解：

   $$\mathrm d y = 2x \cos x^2 \mathrm d x \\ \mathrm d^2 y = (2 \cos x^2 - 4 x^2 \sin x^2) \mathrm d x^2$$

3. 根据下面给出的 $x$ 和 $\mathrm d x$ 的值，求微分 $\mathrm d y$：

   (1) $y = \sqrt {4 + 5x}, x = 0, \mathrm d x = 0.004$

   (2) $y = \tan x, x = \dfrac \pi 4, \mathrm d x = -0.1$

   (1) 解：

   $$\mathrm d y = \frac {5 \mathrm d x} {2 \sqrt {4 + 5x}} = 0.005$$

   (2) 解：

   $$\mathrm d y = \sec^2 x \mathrm d x = -0.2$$