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# 线性无关组

定义 1 极大线性无关组 ：设 SS 是向量组。如果 SS 的子集 M={α1,α2,⋯ ,αm}M = \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\} 线性无关，并且将 SS 中的任一向量 α\alpha 添加进去构成的向量组线性相关，就称 MM 是 SS 的极大线性无关组。

引理 1 ：设 SS 是向量组，MM 是 SS 的线性无关子集，则 MM 是极大线性无关组 ⇔\Leftrightarrow SS 中的任一向量都是 MM 的线性组合。

证明 ：“⇒\Rightarrow”：先设 MM 是 SS 的极大线性无关组。

任取 α∈S\alpha \in S，当 α∈M\alpha \in M 时当然 α\alpha 是 MM 的线性组合：

α=α+∑β∈M,β≠α0β\alpha = \alpha + \sum\limits_{\beta \in M, \beta \not = \alpha} 0 \beta

设 α\alpha 不属于 MM，则 α1,α2,⋯ ,αm,α\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \alpha 线性相关，数域 FF 中存在不全为 00 的数 λ1,λ2,⋯ ,λm,λ\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m, \lambda 使得：

λ1α1+λ2α2+⋯+λmαm+λα=0\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_m \alpha_m + \lambda \alpha = 0

如果 λ=0\lambda = 0，则上式成为：

λ1α1+λ2α2+⋯+λmαm=0\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_m \alpha_m = 0

其中 λ1,λ2,⋯ ,λm\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m 不全为 00，这意味着 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m 线性相关，矛盾。

因此 λ≠0\lambda \not = 0，则可求出：

λ=−λ1λα1−λ2λα2−⋯−λmλαm\lambda = -\frac {\lambda_1} \lambda \alpha_1 - \frac {\lambda_2} \lambda \alpha_2 - \cdots - \frac {\lambda_m} \lambda \alpha_m

这说明 α\alpha 是 MM 的线性组合，其实还是 唯一表示 。

“⇐\Leftarrow”：再设 SS 中的任一向量都是 MM 的线性组合，由于 MM 线性无关，由定义可知 MM 是 SS 的极大线性无关组。

引理 2： 设 S2={v1,⋯ ,vs}S_2 = \{ v_1, \cdots, v_s \} 是 S1S_1 是 S1={u1,⋯ ,ut}S_1 = \{ u_1, \cdots, u_t \} 的线性组合，并且 s>ts > t，则 S2S_2 线性相关。

证明： 对每个 1≤j≤s1 \le j \le s，记：

vj=a1,ju1+⋯+at,jut(1)v_j = a_{1, j} u_1 + \cdots + a_{t, j} u_t \tag{1}

考虑使：

λ1v1+⋯+λsvs=0(2)\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_s v_s = 0 \tag {2}

将 (1)(1) 代入 (2)(2)，得：

λ1(a1,1u1+⋯+at,1ut)+⋯+λj(a1,ju1+⋯+at,jut)+⋯+λs(a1,su1+⋯+at,sut)=0\lambda_1 (a_{1, 1} u_1 + \cdots + a_{t, 1} u_t) + \cdots + \lambda_j (a_{1, j} u_1 + \cdots + a_{t, j} u_t) + \cdots + \lambda_s (a_{1, s} u_1 + \cdots + a_{t, s} u_t) = 0

整理得：

(a1,1λ1+⋯+a1,sλs)u1+⋯+(ai,1λ1+⋯+ai,sλs)ui+⋯+(at,1λ1+⋯+at,sλs)ut=0(3)(a_{1, 1} \lambda_1 + \cdots + a_{1, s} \lambda_s) u_1 + \cdots + (a_{i, 1} \lambda_1 + \cdots + a_{i, s} \lambda_s) u_i + \cdots + (a_{t, 1} \lambda_1 + \cdots + a_{t, s} \lambda_s) u_t = 0 \tag {3}

选择 λ1,⋯ ,λs\lambda_1, \cdots, \lambda_s 使：

{a1,1λ1+⋯+a1,sλs=0⋯at,1λ1+⋯+at,sλs=0(4)\begin{cases} a_{1, 1} \lambda_1 + \cdots + a_{1, s} \lambda_s = 0 \\ \cdots \\ a_{t, 1} \lambda_1 + \cdots + a_{t, s} \lambda_s = 0 \end{cases} \tag {4}

成立，则 (3)(3) 成立，从而 (2)(2) 成立。

(4)(4) 是以 λ1,⋯ ,λs\lambda_1, \cdots, \lambda_s 为未知数得齐次线性方程组，有 ss 个未知数，tt 个方程。由于 s>ts > t，(4)(4) 有 非零解 ，这也是 (2)(2) 的非零解。因此 v1,⋯ ,vsv_1, \cdots, v_s 线性相关。

推论 1： 如果 S2={v1,⋯ ,vs}S_2 = \{ v_1, \cdots, v_s \} 是 S1={u1,⋯ ,ut}S_1 = \{ u_1, \cdots, u_t \} 的线性组合，并且 S2S_2 线性无关，则 s≤ts \le t.

推论 2： 如果线性无关向量组 S1={u1,⋯ ,us}S_1 = \{ u_1, \cdots, u_s \} 与 S2={v1,⋯ ,vt}S_2 = \{ v_1, \cdots, v_t \} 等价，即互为线性组合，那么它们所含向量个数 ss 与 tt 相等。特别地，同一向量组 SS 的两个极大线性无关子集所含 向量个数相等。

# 秩

定义 2： 任一向量组 SS 的任一极大线性无关组所含向量个数 rr 称为向量组 SS 的秩，记作 rank S\mathrm{rank} \, S. 任一矩阵 AA 的行向量组的秩称为这个矩阵的 行秩，AA 的列向量组的秩成为 AA 的 列秩。

推论 3： 如果向量组 S2S_2 是 S1S_1 的线性组合，则 rank S2≤rank S1\mathrm{rank} \, S_2 \le \mathrm{rank} \, S_1. 互为线性组合的向量组秩相等。

定义 3： 设 S1S_1 与 S2S_2 是同一个向量空间 VV 中的两个向量组。如果 S1S_1 与 S2S_2 互为线性组合，就称 S1S_1 与 S2S_2 等价。如果矩阵 AA 与 BB 的行（列）向量组等价，就称 AA 与 BB 行（列）等价。

引理 3： 初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明： 每次初等行变换前后的矩阵的行向量组等价。由等价的传递性知道：矩阵 AA 经过若干次初等行变换得到的矩阵 BB 的行向量组与 AA 的行向量组等价。由此知：AA 与 BB 的行秩相等。

重点在于彼此互为线性组合。考察向量组之间的线性组合关系是本章关键。

# 用初等行变换计算秩

求线性方程组的秩： 将方程表成增广矩阵 MM。方程组的秩就是 MM 的行秩。用初等行变换化为行阶梯形，即可求得线性方程组的秩。

# 用初等行变换求极大线性无关组

我们先来看一道例题：

例 1： 求由下列向量组成的向量组的一个极大线性无关组：

α1=(1,2,3,4,−3)α2=(1,2,0,−5,1)α3=(2,4,−3,19,6)α4=(3,6,−3,−24,7)\begin{matrix} \alpha_1 = (1, 2, 3, 4, -3) & \alpha_2 = (1, 2, 0, -5, 1) \\ \alpha_3 = (2, 4, -3, 19, 6) & \alpha_4 = (3, 6, -3, -24, 7) \end{matrix}

解： 考虑关于 λ1,λ2,λ3,λ4\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 的方程：

λ1α1+λ1α2+λ3α3+λ4α4=0(5)\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_1 \alpha_2 + \lambda_3 \alpha_3 + \lambda_4 \alpha_4 = 0 \tag {5}

此方程即齐次线性方程组：

{λ1+λ2+2λ3+3λ4=02λ1+2λ2+4λ3+6λ4=03λ1−3λ3−3λ4=04λ1−5λ2−19λ3−24λ4=0−3λ1+λ2+6λ3+7λ4=0(6)\begin {cases} \begin {alignedat} {5} \lambda_1 &{}+{}& \lambda_2 &{}+{}& 2 \lambda_3 &{}+{}& 3 \lambda_4 &= 0 \\ 2 \lambda_1 &{}+{}& 2 \lambda_2 &{}+{}& 4 \lambda_3 &{}+{}& 6 \lambda_4 &= 0 \\ 3\lambda_1 &{}{}& &{}-{}& 3 \lambda_3 &{}-{}& 3 \lambda_4 &= 0 \\ 4 \lambda_1 &{}-{}& 5 \lambda_2 &{}-{}& 19 \lambda_3 &{}-{}& 24 \lambda_4 &= 0 \\ -3 \lambda_1 &{}+{}& \lambda_2 &{}+{}& 6 \lambda_3 &{}+{}& 7 \lambda_4 &= 0 \end {alignedat} \end {cases} \tag {6}

对 (6)(6) 的系数矩阵作一系列初等行变换，化为：

B=(10−1−10134000000000000)B = \begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}

由此可得通解为：

(λ1λ2λ3λ4)T=(λ3+λ4−3λ3−4λ4λ3λ4)T(7)\begin {pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \lambda_4 \end {pmatrix}^T = \begin {pmatrix} \lambda_3 + \lambda_4 & -3 \lambda_3 - 4 \lambda_4 & \lambda_3 & \lambda_4 \end {pmatrix}^T \tag {7}

在通解 (7)(7) 中取 (λ3,λ4)=(1,0)(\lambda_3, \lambda_4) = (1, 0)，得：

(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1,−3,1,0)(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) = (1, -3, 1, 0)

这说明：

α3=−α1+3α2(8)\alpha_3 = - \alpha_1 + 3 \alpha_2 \tag {8}

在通解 (7)(7) 中取 (λ3,λ4)=(0,1)(\lambda_3, \lambda_4) = (0, 1)，得：

(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1,−4,0,1)(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) = (1, -4, 0, 1)

这说明：

α4=−α1+4α2(9)\alpha_4 = - \alpha_1 + 4 \alpha_2 \tag {9}

(8)(8) 和 (9)(9) 说明 α3,α4\alpha_3, \alpha_4 是 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 的线性组合。显然 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 线性无关，因此 {α1,α2}\{ \alpha_1, \alpha_2 \} 就是 {α1,α2,α3,α4}\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \} 的一个极大线性无关组。

基于此，我们归纳出一种算法：

算法 1： 求 FnF^n 中有限个向量 α1,⋯ ,αm\alpha_1, \cdots, \alpha_m 组成的向量组的极大线性无关组。

  1. 将各向量 α1,⋯ ,αm\alpha_1, \cdots, \alpha_m 写成列向量的形式，依次以它们为各列排成矩阵 AA.

  2. 将 AA 经过一系列初等行变换化成如下的阶梯形：

B=(0⋯0b1,j1⋯⋯⋯⋯⋯b2,j2⋯⋯⋯⋱⋯⋯br,jr⋯O)B = \begin {pmatrix} 0 & \cdots & 0 & b_{1, j_1} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ & & & & & b_{2, j_2} & \cdots & \cdots & \cdots \\ & & & & & & \ddots & \cdots & \cdots \\ & & & & & & & b_{r, j_r} & \cdots \\ & & & & & & & & O \end {pmatrix}

其中 1≤j1<j2<⋯<jr≤n1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_r \le n，而 b1,j1,b2,j2,⋯ ,br,jrb_{1, j_1}, b_{2, j_2}, \cdots, b_{r, j_r} 都不为 00。

于是 BB 的第 j1,j2,⋯ ,jrj_1, j_2, \cdots, j_r 列组成 BB 的列向量组的一个极大线性无关组，相应的，AA 的第 j1,j2,⋯ ,jrj_1, j_2, \cdots, j_r 列组成 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m 的一个极大线性无关组。

引理 4： 初等行变换不改变矩阵的列秩。

证明： 我们不妨设 A=(α1α2⋯αr⋯αn),B=(β1β2⋯βr⋯βn)A = \begin {pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r & \cdots & \alpha_n \end {pmatrix}, B = \begin {pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_r & \cdots & \beta_n \end {pmatrix}

不失一般性，假设 AA 列秩 =r= r，且是前 rr 列向量构成极大无关组。

不难发现，{β1,β2,⋯ ,βr}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r \} 就是由 {α1,α2,⋯ ,αr}\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \} 经过以上初等行变换得到的向量组。

已知 {α1,α2,⋯ ,αr}\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \} 线性无关，即对于 λ1α1+λ2α2+⋯+λrαr=0\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_r \alpha_r = 0，λ1=λ2=⋯=λr=0\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_r = 0 是唯一解。

由初等行变换是同解变换，有 {β1,β2,⋯ ,βr}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r \} 线性无关。

于是有 BB 列秩 ≥r\ge r.

此时，另取 βr+1\beta_{r + 1}（可以随便从 βr+1,⋯ ,βn\beta_{r + 1}, \cdots, \beta_n 中取一个，不失一般性，取 βr+1\beta_{r + 1}）。

若 {β1,β2,⋯ ,βr,βr+1}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r, \beta_{r + 1} \} 线性无关，由初等行变换的逆变换可知 α1,α2,⋯ ,αr,αr+1\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \alpha_{r + 1} 亦线性无关，与题假设矛盾。

故 {β1,β2,⋯ ,βr,βr+1}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r, \beta_{r + 1} \} 线性相关。

不难说明 βr+1\beta_{r + 1} 可由 {β1,β2,⋯ ,βr}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r \} 唯一线性表出。

即 {β1,β2,⋯ ,βr}\{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r \} 为极大线性无关组，即 BB 列秩为 rr.

与此同时我们可以注意到矩阵的列秩和行秩相等，它们统称为矩阵的秩，记为 rank A\mathrm{rank} \, A.

另一种理解矩阵行秩 == 列秩的方法： 一个矩阵所张成的空间维度时不变的，而行秩和列秩都描述了这个空间维度，因此 行秩 == 列秩。

引理 5： 设 FnF^n 的任意一个线性无关子集 SS 都能扩充为 FnF^n 的一组基。

证明： FnF^n 的线性无关子集 SS 可以扩充为 FnF^n 的一个极大线性无关组 MM，MM 是 FnF^n 的基。

# 习题

  1. 判断下列向量组是线性相关还是线性无关，并分别求其极大无关组：

    (1) α1=(1,−1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,−1,2,0),α5=(2,1,5,6)\alpha_1 = (1, -1, 2, 4), \alpha_2 = (0, 3, 1, 2), \alpha_3 = (3, 0, 7, 14), \alpha_4 = (1, -1, 2, 0), \alpha_5 = (2, 1, 5, 6);

    (2) α1=(2,0,−1,2),α2=(0,−2,1,−3),α3=(3,−1,2,1),α4=(−2,4,−7,5)\alpha_1 = (2, 0, -1, 2), \alpha_2 = (0, -2, 1, -3), \alpha_3 = (3, -1, 2, 1), \alpha_4 = (-2, 4, -7, 5).

    (1) 解：对如下矩阵进行初等行变换：

    (10312−130−1121725421406)→(1)+(2),−2(1)+(3),−4(1)+(4)(103120330301101022−4−2)→−13(2)+(3),−23(2)+(4)(103120330300000000−4−3)→(3,4)(1031203303000−4−300000) \begin {aligned} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(1) + (2), -2(1) + (3), -4(1) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -4 & -2 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {- \frac 1 3 (2) + (3), - \frac 2 3 (2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & -3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(3, 4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \end {aligned}

    因此该向量组线性相关，其中 {α1,α2,α4}\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_4 \} 构成一个极大无关组。

    (2) 解：对如下矩阵进行初等行变换：

    (203−20−2−14−112−72−315)→12(1)+(3),−(1)+(4)(203−20−2−140172−80−3−27)→12(2)+(3),−32(2)+(4)(203−20−2−14003−600−121)→16(3)+(4)(203−20−2−14003−60000) \begin {pmatrix} 2 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 2 & -7 \\ 2 & -3 & 1 & 5 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {\frac 1 2 (1) + (3), -(1) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 2 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & \frac 7 2 & -8 \\ 0 & -3 & -2 & 7 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {\frac 1 2 (2) + (3), - \frac 3 2 (2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 2 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & -\frac 1 2 & 1 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {\frac 1 6 (3) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 2 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}

    因此该向量组线性相关，其中 {α1,α2,α3}\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} 构成一个极大无关组。

  2. 设复数域上的向量 α1,⋯ ,αn\alpha_1, \cdots, \alpha_n 线性无关。对复数 λ\lambda 的不同值，判断向量组

    S:α1+λα2,⋯ ,αn−1+λαn,αn+λα1S: \alpha_1 + \lambda \alpha_2, \cdots, \alpha_{n - 1} + \lambda \alpha_n, \alpha_n + \lambda \alpha_1

    是否线性无关，并求出 SS 的秩。

    解：以 {α1,α2,⋯ ,αn}\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \} 为该向量空间的一组基底，可将 SS 表示成如下矩阵形式：

    (100⋯0λλ10⋯000λ1⋯0000λ⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯10000⋯λ1) \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\ \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \end {pmatrix}

    将其进行一系列初等行变换后，得到阶梯形矩阵如下：

    (100⋯0λ010⋯0−λ2001⋯0λ3⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯1−(−λ)n−1000⋯01−(−λ)n) \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & - \lambda^2 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & \lambda^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -(-\lambda)^{n - 1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 - (-\lambda)^n \end {pmatrix}

    当 λ=−1\lambda = -1 或当 λ=(−1)n\lambda = (-1)^n 时，1−(−λ)n=01 - (- \lambda)^n = 0，此时向量组 SS 线性相关，其秩为 n−1n - 1;
    否则，向量组 SS 线性无关，其秩为 nn.

  3. 设 α1=(0,1,2,3),α2=(1,2,3,4),α3=(3,4,5,6),α4=(4,3,2,1),α5=(6,5,4,1)\alpha_1 = (0, 1, 2, 3), \alpha_2 = (1, 2, 3, 4), \alpha_3 = (3, 4, 5, 6), \alpha_4 = (4, 3, 2, 1), \alpha_5 = (6, 5, 4, 1)，试将 α1,α3\alpha_1, \alpha_3 扩充成 α1,⋯ ,α5\alpha_1, \cdots, \alpha_5 的一个极大线性无关组（即所求的极大无关组要包含 α1,α3\alpha_1, \alpha_3.）

    解：对如下列向量矩阵进行初等行变换：

    (13460243513524246113)→−2(1)+(2),−3(1)+(3),−4(1)+(4)(134600−2−5−710−4−10−1420−6−15−233)→−2(2)+(3),−3(2)+(4)(134600−2−5−7100000000−20) \begin {pmatrix} 1 & 3 & 4 & 6 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 5 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 4 & 2 \\ 4 & 6 & 1 & 1 & 3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(1) + (2), -3(1) + (3), -4(1) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 3 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -7 & 1 \\ 0 & -4 & -10 & -14 & 2 \\ 0 & -6 & -15 & -23 & 3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-2(2) + (3), -3(2) + (4)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 3 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end {pmatrix}

    则 {α1,α3,α4}\{ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_4 \} 是一组极大无关组。

  4. 设

    β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,⋮βr=α1+α2+⋯+αr−1.\beta_1 = \alpha_2 + \alpha_3 + \cdots + \alpha_r, \\ \beta_2 = \alpha_1 + \alpha_3 + \cdots + \alpha_r, \\ \vdots \\ \beta_r = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_{r - 1}.

    证明：β1,β2,⋯ ,βr\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r 与 α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r 有相同的秩。

    证明：显然 B={β1,β2,⋯ ,βn}B = \{ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n \} 可以用 A={α1,α2,⋯ ,αn}A = \{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \} 线性表示出来，下证 AA 可由 BB 线性表示出来。
    进行如下构造：

    α1=β1+β2+⋯+βnn−1−β1,α2=β1+β2+⋯+βnn−1−β2,⋮αm=β1+β2+⋯+βnn−1−βn, \alpha_1 = \frac {\beta_1 + \beta_2 + \cdots + \beta_n} {n - 1} - \beta_1, \\ \alpha_2 = \frac {\beta_1 + \beta_2 + \cdots + \beta_n} {n - 1} - \beta_2, \\ \vdots \\ \alpha_m = \frac {\beta_1 + \beta_2 + \cdots + \beta_n} {n - 1} - \beta_n, \\

    因此 AA 也可由 BB 线性表示，从而 A⇔BA \Leftrightarrow B，A,BA, B 向量组有相同的秩。

  5. 求下列矩阵行向量组和列向量组的极大无关组：

    (1) (111111234554312)\begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end {pmatrix};

    (2) (2−1−1−12−1−1−12)\begin {pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end {pmatrix}.

    (1) 解：对该矩阵进行如下初等行变换：

    (111111234554312)→−(1)+(2),−5(1)+(3)(11111012340−1−2−4−3)→(2)+(3)(1111101234000−11) \begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {-(1) + (2), -5(1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -4 & -3 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end {pmatrix}

    因此该矩阵的行向量组的极大无关组为：

    α1=(1,1,1,1,1)α2=(1,2,3,4,5)α3=(5,4,3,1,2) \alpha_1 = (1, 1, 1, 1, 1) \\ \alpha_2 = (1, 2, 3, 4, 5) \\ \alpha_3 = (5, 4, 3, 1, 2)

    列向量组的极大无关组为：

    β1=(1,1,5)β2=(1,2,4)β3=(1,4,1) \beta_1 = (1, 1, 5) \\ \beta_2 = (1, 2, 4) \\ \beta_3 = (1, 4, 1)

    (2) 解：对该矩阵进行如下初等行变换：

    (2−1−1−12−1−1−12)→12(1)+(2),12(1)+(3)(2−1−1032−320−3232)→(2)+(3)(2−1−1032−32000) \begin {pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {\frac 1 2 (1) + (2), \frac 1 2 (1) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \frac 3 2 & -\frac 3 2 \\ 0 & -\frac 3 2 & \frac 3 2 \end {pmatrix} \quad \xrightarrow {(2) + (3)} \quad \begin {pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \frac 3 2 & -\frac 3 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}

    因此该矩阵的行向量组的极大无关组为：

    α1=(2,−1,−1)α2=(−1,2,−1) \alpha_1 = (2, -1, -1) \\ \alpha_2 = (-1, 2, -1)

    列向量组的极大无关组为：

    β1=(2,−1,−1)β2=(−1,2,−1) \beta_1 = (2, -1, -1) \\ \beta_2 = (-1, 2, -1)