# 导数与单侧导数

# 可导与连续

# 可导的条件

定理 1： $f(x)$ 在 $x_0$ 可导 $\Leftrightarrow$ $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$。

# 可导与连续的关系

定理 2： 若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

证明： 由 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，可知极限 $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0}$ 存在，记为 $A$。

又由于 $\lim\limits_{x \to x_0} (x - x_0) = 0$，则 $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0$，即 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

# 常用函数的导数

$$\begin{matrix} (C)' = 0 & (\sin x)' = \cos x & (\cos x)' = -\sin x \\ (x^n)' = nx^{n - 1} & (a^x)' = a^x\ln a & (\log_a x)' = \dfrac 1 {x \ln a} \end{matrix}$$

# 习题

1. 设函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 可导，且 $f(0) = 0, f'(0) = 1$，求极限 $\lim\limits_{n \to \infty}nf\left(\dfrac 1 n\right)$。

   解：$f'(0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(\Delta x) - f(0)} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(\Delta x)} {\Delta x} = 1$.

   $$\lim_{n \to \infty} nf(\frac 1 n) = \lim_{x \to 0} \frac {f(x)} {x} = 1$$

2. 求实数 $a$，使得曲线 $y = ax^3$ 和曲线 $y = \ln x$ 相切。

   解：设公切点横坐标为 $x_0$，则：

   $$\begin{cases} ax_0^3 = \ln x_0\\ 3ax_0^2 = \dfrac 1 {x_0} \end{cases}$$

   解得 $a = \dfrac 1 {3e}$.

3. 证明：

   (1) 若 $f(x)$ 是一可导的偶函数，则 $f'(x)$ 是一个奇函数；

   (2) 若 $f(x)$ 是一可导的奇函数，则 $f'(x)$ 是一个偶函数；

   (2) 若 $f(x)$ 是一可导的周期函数，则 $f'(x)$ 仍然是一个周期函数；

   (1) 证明：$f'(-x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(-x - \Delta x) - f(-x)} {-\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x + \Delta x) - f(x)} {-\Delta x} = -f'(x)$，即 $f'(x)$ 为奇函数.

   (2) 证明：$f'(-x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(-x - \Delta x) - f(-x)} {-\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x) - f(x + \Delta x)} {-\Delta x} = f'(x)$，即 $f'(x)$ 为偶函数.

   (3) 证明：$f'(x + T) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x + T + \Delta x) - f(x + T)} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} = f'(x)$，即 $f'(x)$ 为周期函数.

4. 已知在原点的某个邻域内有 $|f(x)| \le |g(x)|$，且有 $g'(0) = g(0) = 0$，求 $f'(0)$。

   解：由题，当 $x = 0$ 时，$|f(x)| \le |g(x)| = 0$，则 $f(0) = 0$.
   对于 $\delta \to 0^+$，有 $|f(\delta)| \le |g(\delta)|$ 恒成立.
   由 $\dfrac {|f(\delta) - f(0)|} {\delta} \le \dfrac {|g(\delta) - g(0)|} {\delta} = g'(0) = 0$ 可知，$f'(0) = \dfrac {|f(\delta) - f(0)|} {\delta} = 0$.

5. 设 $f(x)$ 为 $(-\infty, +\infty)$ 上的可导函数，且在 $x = 0$ 的某个邻域上成立

   $$f(1 + \sin x) - 3f(1 - \sin x) = 8x + \alpha(x)$$

   其中 $\alpha(x)$ 是当 $x \to 0$ 时比 $x$ 高阶的无穷小量，求 $y = f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程。

   解：等式两边同时对 $x$ 求导：

   $$f'(1+\sin x) \cos x + 3 f'(1-\sin x) \cos x = 8 \\ \Rightarrow \quad 4 f'(1) = 8 \\ \Rightarrow \quad f'(1) = 2$$

6. 已知 $f'(0) = a, f(0) = b \not = 0$，求数列极限

   $$\lim_{n \to \infty} \left[\frac {f\left(\frac 1 n\right)} {f(0)}\right]^n$$

   解：

   $$\lim_{n \to \infty}n\left(\frac {f(\frac 1 n) - f(0)} {f(0)}\right) = \frac 1 {f(0)} \lim_{n \to \infty} \frac {f(\frac 1 n) - f(0)} {\frac 1 n} = \frac {f'(0)} {f(0)} = \frac a b \\ \lim_{n \to \infty} \left[\dfrac {f\left(\frac 1 n\right)} {f(0)}\right]^n = e^{\frac a b}$$

7. 设

   $$f(x) = \begin{cases} 0, & 当\,x = 0\,时 \\ |x|^\lambda\cos \dfrac 1 x, & 当\,x \not = 0\,时 \end{cases}$$

   求证：(1) 当 $\lambda > 1$ 时，$f'(0)$ 存在；(2) 当 $0 \le \lambda \le 1$ 时，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。

   (1) 证明：

   $$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac {|\Delta x|^\delta\cos\frac 1 {\Delta x}} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} |\Delta x|^{\delta - 1}\cos \frac 1 {\Delta x} = 0 \\ f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac {|\Delta x|^\delta\cos\frac 1 {\Delta x}} {\Delta x} = -\lim_{\Delta x \to 0^-} |\Delta x|^{\delta - 1}\cos \frac 1 {\Delta x} = 0$$

   则 $f'(0)$ 存在.

   (2) 证明：

   $$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac {|\Delta x|^\delta\cos\frac 1 {\Delta x}} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} |\Delta x|^{\delta - 1}\cos \frac 1 {\Delta x}$$

   注意到 $\delta - 1 < 0$，则 $f'_+(0)$ 不存在，$f'(0)$ 不存在.

8. 初等函数在其定义域内必可导。

   函数 $y = \sqrt x$ 中 $x = 0$ 在其定义域内，但是函数在该点不可导。