首页工科数学分析函数的导数

# 隐函数的导数

定义 11： 若方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 对 ∀x∈I\forall x \in I，总存在唯一的 yy 使得方程成立，则称该方程确定了一个隐函数。

隐函数求导法则： 用复合函数求导法则直接对方程两边求导。

例 11. 求由方程 xy−ex+ey=0xy - e^x + e^y = 0 所确定的隐函数 y=y(x)y = y(x) 的导数 dydx,dydx∣x=0\dfrac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x}, \left . \dfrac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right |_{x = 0}。

解： 方程两边对 xx 求导，

y+xdydx−ex+eydydx=0y + x \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} - e^x + e^y \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = 0

解得

dydx=ex−yx+ey\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {e^x - y} {x + e^y}

由原方程知 x=0,y=0x = 0, y = 0，因此

dydx∣x=0=1\left . \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right |_{x = 0} = 1

# 由参数方程所确定的函数的导数

定义 22： 若参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t)\begin {cases} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end {cases} 确定 yy 与 xx 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。

在方程

{x=φ(t)y=ψ(t)\begin {cases} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end {cases}

中，设函数 x=φ(t)x = \varphi (t) 具有单调连续的反函数 t=φ−1(x)t = \varphi^{-1} (x)，于是

y=ψ[φ−1(x)]y = \psi [\varphi^{-1} (x)]

再设函数 x=φ(t),y=ψ(t)x = \varphi (t), y = \psi (t) 都可导，且 φ(t)≠0\varphi (t) \not = 0，由复合函数及反函数的求导法则得：

dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=ψ′(t)φ′(t)\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} t} \cdot \frac {\mathrm {d} t} {\mathrm {d} x} = \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} t} \cdot \frac 1 {\frac {\mathrm {d} x} {\mathrm {d} t}} = \frac {\psi' (t)} {\varphi' (t)}

# 习题

  1. 求下列方程所决定的隐函数 y=y(x)y = y(x) 的导数：

    (1) x2+y2=earctan⁡yx\sqrt {x^2 + y^2} = e^{\arctan \frac y x}；

    (2) x23+y23=a23(a>0)x^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3} = a^{\frac 2 3} (a > 0)。

    (1) 解：两边同时对 xx 求导得：

    2x+2ydydx2x2+y2=earctan⁡yxdydxx−yx21+(yx)2 \frac {2x + 2y \dfrac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x}} {2 \sqrt {x^2 + y^2}} = e^{\arctan \frac y x} \frac {\frac {\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x}x - y} {x^2}} {1 + (\frac y x)^2}

    进一步整理得：

    dydx=xx2+y2+yearctan⁡yxxearctan⁡yx−yx2+y2 \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {x \sqrt {x^2 + y^2} + ye^{\arctan \frac y x}} {xe^{\arctan \frac y x} - y \sqrt {x^2 + y^2}}

    (2) 解：两边同时对 xx 求导得：

    23x−13+23y−13dydx=0 \frac 2 3 x^{- \frac 1 3} + \frac 2 3 y^{- \frac 1 3} \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = 0

    进一步整理得：

    dydx=−yx3 \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = - \sqrt [3] {\dfrac y x}

  2. 求由下列参数方程所表示的函数 y=y(x)y = y(x) 的导数：

    {x=acos⁡3ty=asin⁡3t\begin {cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end {cases}

    解：

    dydt=3asin⁡2cos⁡tdxdt=−3acos⁡2sin⁡t \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} t} = 3a \sin^2 \cos t \\ \frac {\mathrm {d} x} {\mathrm {d} t} = -3a \cos^2 \sin t

    由此得出

    dydx=−tan⁡t \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = - \tan t

  3. 求曲线 xy+ey=1xy + e^y = 1 在点 M(1,0)M(1, 0) 的切线和法线方程。

    解：对隐函数求导：

    y+xdydx+eydydx=0 y + x \frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} + e^y \frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = 0

    整理得：

    dydx=−yx+ey \frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = - \frac y {x + e^y}

    因此切线方程为 y=0y = 0，法线方程为 x=1x = 1。

  4. 若曲线有极坐标方程 r=f(θ)r = f(\theta) 表示，则可得参数方程 x=f(θ)cos⁡θ,y=f(θ)sin⁡θx = f(\theta) \cos \theta, y = f(\theta) \sin \theta，求 y′(x)y'(x)。

    解：

    dydθ=f′(θ)sin⁡θ+f(θ)cos⁡θdxdθ=f′(θ)cos⁡θ−f(θ)sin⁡θy′(x)=dydx=f′(θ)sin⁡θ+f(θ)cos⁡θf′(θ)cos⁡θ−f(θ)sin⁡θ \frac {\mathrm d y} {\mathrm d \theta} = f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta \\ \frac {\mathrm d x} {\mathrm d \theta} = f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta \\ y'(x) = \frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = \frac {f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta} {f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta}