首页工科数学分析不定积分

# 原函数与不定积分的概念

定义 11：如果对 ∀ x∈I\forall \, x \in I，都有 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，那么 F(x)F(x) 就称为 f(x)f(x) 在区间 II 上的一个 原函数。

注意：

  1. 原函数 不一定 存在。例如符号函数 f(x)=sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0f(x) = \mathrm {sgn} (x) = \begin {cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end {cases}，假设有原函数 F(x)F(x)，则：

    F(x)={x+C,x>0C,x=0−x+c,x<0F(x) = \begin {cases} x + C, & x > 0 \\ C, & x = 0 \\ -x + c, & x < 0 \end {cases}

    但 F(x)F(x) 在 x=0x = 0 处不可导，故假设错误，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内不存在原函数。

    原函数存在定理：如果函数 f(x)f(x) 在区间 II 内连续，那么在区间 II 内存在可导函数 F(x)F(x)，使 ∀ x∈I\forall \, x \in I，都有 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，即 连续函数一定有原函数。

  2. 原函数不唯一，若 F(x)F(x) 和 G(x)G(x) 都是 f(x)f(x) 的原函数，则 F(x)−G(x)=CF(x) - G(x) = C，其中 CC 为任意常数。

定义 22：在区间 II 上，函数 f(x)f(x) 的全体原函数称为 f(x)f(x) 在区间 II 内的 不定积分，记为 ∫f(x)dx\int f(x) \mathrm d x。

函数 f(x)f(x) 的原函数的图形称为 f(x)f(x) 的 积分曲线，求不定积分得到一 积分曲线族。

# 基本积分表：

  1. ∫kdx=kx+C\displaystyle \int k \mathrm d x = kx + C；

  2. ∫xμdx=xμ+1μ+1+C\displaystyle \int x^\mu \mathrm d x = \dfrac {x^{\mu + 1}} {\mu + 1} + C；

  3. ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int \dfrac {\mathrm d x} x = \ln |x| + C；

  4. ∫11+x2dx=arctan⁡x+C\displaystyle \int \frac 1 {1 + x^2} \mathrm d x = \arctan x + C；

  5. ∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\displaystyle \int \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \mathrm d x = \arcsin x + C；

  6. ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\displaystyle \int \cos x \mathrm d x = \sin x + C；

  7. ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\displaystyle \int \sin x \mathrm d x = - \cos x + C；

  8. ∫dxcos⁡2x=∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\displaystyle \int \frac {\mathrm d x} {\cos^2 x} = \int \sec^2 x \mathrm d x = \tan x + C；

  9. ∫dxsin⁡2x=∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\displaystyle \int \frac {\mathrm d x} {\sin^2 x} = \int \csc^2 x \mathrm d x = - \cot x + C；

  10. ∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\displaystyle \int \sec x \tan x \mathrm d x = \sec x + C；

  11. ∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\displaystyle \int \csc x \cot x \mathrm d x = - \csc x + C；

  12. ∫exdx=ex+C\displaystyle \int e^x \mathrm d x = e^x + C；

  13. ∫axdx=axln⁡a+C\displaystyle \int a^x \mathrm d x = \frac {a^x} {\ln a} + C；

  14. ∫sinh⁡xdx=cosh⁡x+C\displaystyle \int \sinh x \mathrm d x = \cosh x + C；

  15. ∫cosh⁡xdx=sinh⁡x+C\displaystyle \int \cosh x \mathrm d x = \sinh x + C。

# 不定积分的性质

ddx[∫f(x)dx]=f(x),d[∫f(x)dx]=f(x)dx,∫F′(x)dx=F(x)+C,∫dF(x)=F(x)+C.\begin {matrix} \displaystyle \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left[ \int f(x) \mathrm d x \right] = f(x), & \displaystyle \mathrm d \left[ \int f(x) \mathrm d x \right] = f(x) \mathrm d x, \\ \displaystyle \int F'(x) \mathrm d x = F(x) + C, & \displaystyle \int \mathrm d F(x) = F(x) + C. \end {matrix}

结论：微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的。

先积后导全消掉，先导后积常数要。

定理 11：

∫[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dx\int [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm d x = k_1 \int f(x) \mathrm d x + k_2 \int g(x) \mathrm d x

证明：

[k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dx]′=k1[∫f(x)dx]′+k2[∫g(x)dx]=k1f(x)+k2g(x)\begin {aligned} \left[ k_1 \int f(x) \mathrm d x + k_2 \int g(x) \mathrm d x \right]' & = k_1 \left[ \int f(x) \mathrm d x \right]' + k_2 \left[ \int g(x) \mathrm d x \right] \\ & = k_1 f(x) + k_2 g(x) \end {aligned}

所以等式成立。

注意：

  1. 定理不包含 k1=k2=0k_1 = k_2 = 0 的情形；

  2. 定理可以推广到有限多个函数线性组合的情形。

# 习题

  1. 求下列积分：

    (1) ∫(ex−2sin⁡x+2xx)dx\displaystyle \int (e^x - 2 \sin x + 2 x \sqrt x) \mathrm d x；

    (2) ∫tan⁡2xdx\displaystyle \int \tan^2 x \mathrm d x；

    (3) ∫cos⁡2xcos⁡2x⋅sin⁡2xdx\displaystyle \int \frac {\cos 2x} {\cos^2 x \cdot \sin^2 x} \mathrm d x；

    (4) ∫sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x)dx\displaystyle \int \sec x (\sec x + \tan x) \mathrm d x；

    (5) ∫e3x−1ex−1dx\displaystyle \int \frac {e^{3x} - 1} {e^x - 1} \mathrm d x；

    (6) ∫∣x∣dx\displaystyle \int |x| \mathrm d x；

    (7) ∫1ex−1dx\displaystyle \int \frac 1 {e^x - 1} \mathrm d x；

    (8) ∫sin⁡2xcos⁡3xdx\displaystyle \int \sin 2x \cos 3x \mathrm d x；

    (9) ∫(x−x)3 dx\displaystyle \int (x - \sqrt x)^3 \, \mathrm d x；

    (10) ∫11+cos⁡2x dx\displaystyle \int \frac 1 {1 + \cos 2x} \, \mathrm d x。

    (1) 解：

    原式=∫exdx−2∫sin⁡xdx+2∫x32dx=ex+2cos⁡x+45x52+C \begin {aligned} 原式 & = \int e^x \mathrm d x - 2 \int \sin x \mathrm d x + 2 \int x^{\frac 3 2} \mathrm d x \\ & = e^x + 2 \cos x + \frac 4 5 x^{\frac 5 2} + C \end {aligned}

    (2) 解：

    原式=∫sin⁡2xcos⁡2xdx=∫1−cos⁡2xcos⁡2xdx=∫sec⁡2xdx−∫1dx=tan⁡x−x+C \begin {aligned} 原式 & = \int \frac {\sin^2 x} {\cos^2 x} \mathrm d x \\ & = \int \frac {1 - \cos^2 x} {\cos^2 x} \mathrm d x \\ & = \int \sec^2 x \mathrm d x - \int 1 \mathrm d x \\ & = \tan x - x + C \end {aligned}

    (3) 解：

    原式=∫cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x⋅sin⁡2xdx=∫1sin⁡2xdx−∫1cos⁡2xdx=−cot⁡x−tan⁡x+C \begin {aligned} 原式 & = \int \frac {\cos^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 x \cdot \sin^2 x} \mathrm d x \\ & = \int \frac 1 {\sin^2 x} \mathrm d x - \int \frac 1 {\cos^2 x} \mathrm d x \\ & = - \cot x - \tan x + C \end {aligned}

    (4) 解：

    原式=∫sec⁡2xdx+∫sec⁡xtan⁡xdx=tan⁡x+sec⁡x+C \begin {aligned} 原式 & = \int \sec^2 x \mathrm d x + \int \sec x \tan x \mathrm d x \\ & = \tan x + \sec x + C \end {aligned}

    (5) 解：

    原式=∫(e2x+ex+1)dx=∫e2xdx+∫exdx+∫1dx=e2x2+ex+x+C \begin {aligned} 原式 & = \int (e^{2x} + e^x + 1) \mathrm d x \\ & = \int e^{2x} \mathrm d x + \int e^x \mathrm d x + \int 1 \mathrm d x \\ & = \frac {e^{2x}} 2 + e^x + x + C \end {aligned}

    (6) 解：当 x<0x < 0 时，∣x∣=−x|x| = -x，则：

    ∫−xdx=−12x2+C1 \int -x \mathrm d x = - \frac 1 2 x^2 + C_1

    当 x≥0x \ge 0 时，∣x∣=x|x| = x，则：

    ∫xdx=12x2+C2 \int x \mathrm d x = \frac 1 2 x^2 + C_2

    由原函数连续性可知：

    C1=C2 C_1 = C_2

    因此有：

    原式={−x22,x<0x22,x≥0+C 原式 = \begin {cases} -\dfrac {x^2} 2, & x < 0 \\ \dfrac {x^2} 2, & x \ge 0 \end {cases} + C

    (7) 解：

    原式=∫(exex−1−1)dx=∫exex−1dx−x=∫1ex−1d(ex−1)−x=ln⁡∣ex−1∣−x+C \begin {aligned} 原式 & = \int \left( \frac {e^x} {e^x - 1} - 1 \right) \mathrm d x \\ & = \int \frac {e^x} {e^x - 1} \mathrm d x - x \\ & = \int \frac 1 {e^x - 1} \mathrm d (e^x - 1) - x \\ & = \ln |e^x - 1| - x + C \end {aligned}

    (8) 解：

    原式=12∫(sin⁡5x−sin⁡x)dx=12(∫sin⁡5x dx−∫sin⁡x dx)=12(cos⁡x−15cos⁡5x)+C=12cos⁡x−110cos⁡5x+C \begin {aligned} 原式 & = \frac 1 2 \int (\sin 5x - \sin x) \mathrm d x \\ & = \frac 1 2 \left( \int \sin 5 x \, \mathrm d x - \int \sin x \, \mathrm d x \right) \\ & = \frac 1 2 \left( \cos x - \frac 1 5 \cos 5x \right) + C \\ & = \frac 1 2 \cos x - \frac 1 {10} \cos 5x + C \end {aligned}

    (9) 解：

    原式=∫(x3−3x52+3x2−x32) dx=x44−67x72+x3−25x52+C \begin {aligned} 原式 & = \int \left( x^3 - 3 x^{\frac 5 2} + 3 x^2 - x^{\frac 3 2} \right) \, \mathrm d x \\ & = \frac {x^4} 4 - \frac 6 7 x^{\frac 7 2} + x^3 - \frac 2 5 x^{\frac 5 2} + C \end {aligned}

    (10) 解：

    原式=∫12cos⁡2x dx=12∫sec⁡2x dx=12tan⁡x+C \begin {aligned} 原式 & = \int \frac 1 {2 \cos^2 x} \, \mathrm d x \\ & = \frac 1 2 \int \sec^2 x \, \mathrm d x \\ & = \frac 1 2 \tan x + C \end {aligned}