# 平面上的旋转变换

解：将 $OP$ 旋转 $90 \degree$ 得到 $OQ$，则：

$$\overrightarrow {OP'} = (\cos \alpha) \overrightarrow {OP} + (\sin \alpha) \overrightarrow {OQ}$$

只要求出 $\overrightarrow {OQ}$ 的坐标即可求出 $\overrightarrow {OP'}$ 坐标。而 $\overrightarrow {OQ}$ 的坐标为 $(-y, x)$，于是：

$$\begin {pmatrix} x' \\ y' \end {pmatrix} = (\cos \alpha) \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix} + (\sin \alpha) \begin {pmatrix} -y \\ x \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} x \cos \alpha - y \sin \alpha \\ x \sin \alpha + y \cos \alpha \end {pmatrix} \\ Y = \begin {pmatrix} x' \\ y \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix} = AX$$

设 $A: U \to V$ 是 线性映射。则：

1. $A$ 将零向量 $0_U \in U$ 变到零向量 $0_V \in V$，将 $a$ 的负向量 $-a$ 变到 $A(a)$ 的负向量：

   $$A(0_U) = 0_V, A(-a) = -A(a)$$

2. $A$ 保持线性组合关系式不变：

   $$A(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_k a_k) = \lambda_1 A(a_1) + \cdots + \lambda_k A(a_k)$$

3. 如果 $a_1, \cdots, a_k$ 线性相关，则 $A(a_1), \cdots, A(a_k)$ 线性相关。

4. 如果 $A(a_1), \cdots, A_{a_k}$ 线性无关，则 $a_1, \cdots, a_k$ 线性无关。

# 线性变换的矩阵

解：存在且唯一，$\sigma: X \mapsto AX$，其中：

$$A = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end {pmatrix}$$

定理 $1$：从 $\mathbb F^{n \times 1}$ 到 $\mathbb F^{n \times 1}$ 的 线性变换 $\sigma: X \mapsto AX$ 的矩阵 $A = (A_1, \cdots, A_n)$ 的各列 $A_j = \sigma(e_j)$，分别等于各个自然基向量 $e_j (1 \le j \le n)$ 在映射 $\sigma$ 下的像。

# 线性映射的矩阵

注：将 $U$ 中的每个向量 $\alpha$ 用它在 $M_1$ 下的坐标 $X$ 代表，将 $V$ 中每个向量 $\beta$ 由它在基 $M_2$ 下的坐标 $Y$ 代表，这样就将 $U$ 用 $\mathbb F^{n \times 1}$ 代表、将 $V$ 用 $\mathbb F^{m \times 1}$ 代表，则 $\sigma$ 被表示为 $\sigma: \mathbb F^{n \times 1} \to \mathbb F^{m \times 1} (X \mapsto AX)$。

$\sigma$ 的作用通过它的矩阵 $A$ 的左乘来实现。这里将 $X \mapsto AX$ 称为 $\sigma$ 在基 $M_1, M_2$ 下的坐标表示。

定理 $2$：设 $\tau: U \to V$ 是数域 $\mathbb F$ 上有限维线性空间的映射。取 $U$ 的基 $M_1$ 将 $U$ 的向量用坐标表示，取 $V$ 的基 $M_2$ 将 $V$ 的向量用坐标表示。$\tau$ 引起的坐标间的映射通过矩阵 $A$ 的左乘实现：$\tau: X \to AX$，则 $\tau$ 是 线性映射，$A$ 是 $\tau$ 在基 $M_1, M_2$ 下的矩阵。

解：

$$\mathcal A_l (E_{1, 1}) = A E_{1, 1} = \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end {pmatrix} = a E_{1, 1} + c E_{2, 1}$$

在 $M$ 下的坐标为 $(a, 0, c, 0)^T$。类似地有：

$$\mathcal A_L (E_{1, 2}) = a E_{1, 2} + c_{E, 2, 2}, \\ \mathcal A_L (E_{2, 1}) = b E_{1, 1} + d E_{2, 1}, \\ \mathcal A_L (E_{2, 2}) = b E_{1, 2} + d E_{2, 2}$$

坐标分别为 $(0, a, 0, c)^T, (b, 0, d, 0)^T, (0, b, 0, d)^T$，因此 $\mathcal A_L$ 在基 $M$ 下的矩阵为：

$$\begin {pmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end {pmatrix}$$