# 导数的四则运算

定理 1： 如果函数 $u(x), v(x)$ 在区间 $I$ 可导，则它们的和、差、积、商也可导，并且

$$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \\ [u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ \left[\frac {u(x)} {v(x)}\right]' = \frac {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {v^2(x)} (v(x) \not = 0)$$

关于除法运算的证明： 设 $f(x) = \dfrac {u(x)} {v(x)}, (v(x) \not = 0)$,

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {\frac {u(x + h)} {v(x + h)} - \frac {u(x)} {v(x)}} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {u(x + h)v(x) - u(x)v(x + h)} {v(x + h)v(x)h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {[u(x + h) - u(x)]v(x) - u(x)[v(x + h) - v(x)]} {v(x + h)v(x)h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {\frac {u(x + h) - u(x)} {h} \cdot v(x) - u(x) \cdot \frac {v(x + h) - v(x)} {h}} {v(x + h)v(x)} \\ &= \frac {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {[v(x)]^2} \end{aligned}$$

# 复合函数的求导法则

定理 2： 设函数 $u = g(x)$ 在点 $x$ 处可导，而函数 $f(u)$ 在点 $u = g(x)$ 处可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且

$$\frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}u} \cdot \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x} = f'(u) \cdot g'(x)$$

链式法则： 因变量对自变量的导数，等于因变量对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

对数求导法： 常用于多个函数相乘的求导或幂指函数的求导。以幂指函数的求导为例：

$$\begin{aligned} f(x) &= u(x)^{v(x)} \\ \ln f(x) &= v(x) \ln u(x) \\ (\ln f(x))' &= (v(x) \ln u(x))' \\ \frac 1 {f(x)} f'(x) &= v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \frac 1 {u(x)} u'(x) \\ \Rightarrow f'(x) &= u(x)^{v(x)}\left[v'(x) \cdot \ln u(x) + \frac {v(x)u'(x)} {u(x)}\right] \end{aligned}$$

# 反函数的导数

定理 3： 如果函数 $x = \phi(y)$ 在某区间 $I_y$ 内单调、可导且 $\phi'(y) \not = 0$，那么它的反函数 $y = f(x)$ 在对应区间 $I_x$ 内也可导，且有：

$$f'(x) = \frac 1 {\phi'(y)}$$

即 反函数的导数等于原函数导数的倒数。

# 习题

1. 求下列函数的导函数：

   (1) $f(x) = \dfrac {x^2 \cos x - \ln x} {\sqrt x + 3}$

   (2) $f(x) = \dfrac {x^2 + \sec x} {x - \csc x}$

   (1) 解：

   $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac {(2x \cos x - x^2 \sin x - \frac 1 x)(\sqrt x + 3) - (x^2 \cos x - \ln x)(\frac 1 {2\sqrt x})} {(\sqrt x + 3)^2} \end{aligned}$$

   (2) 解：

   $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac {(2x + \sec x \tan x)(x - \csc x) - (x^2 + \sec x)(1 + \csc x \cot x)} {(x - \csc x)^2} \end{aligned}$$

2. 求下列函数的导数：

   (1) $f(x) = e^{ax} \sin bx$

   (2) $f(x) = \ln (\cos x + \sin x)$

   (3) $f(x) = \ln (x + \sqrt {a^2 + x^2})$

   (1) 解：

   $$\begin{aligned} f'(x) &= ae^{ax} \sin bx + be^{ax} \cos bx \end{aligned}$$

   (2) 解：

   $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac 1 {\cos x + \sin x} \cdot (-\sin x + \cos x) \\ &= \frac {\cos x - \sin x} {\cos x + \sin x} \end{aligned}$$

   (3) 解：

   $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac 1 {x + \sqrt {a^2 + x^2}} \cdot (1 + \frac 1 {2 \sqrt {a^2 + x^2}} \cdot 2x) \\ &= \frac {1 + \dfrac x {\sqrt {a^2 + x^2}}} {x + \sqrt {a^2 + x^2}} \\ &= \frac 1 {\sqrt {a^2 + x^2}} \end{aligned}$$

3. 记 $\sinh x = \dfrac {e^x - e^{-x}} 2, \cosh x = \dfrac {e^x + e^{-x}} 2$，分别成为双曲正弦和双曲余弦函数，证明：

   (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

   (2) $(\sinh x)' = \cosh x, (\cosh x)' = \sinh x$

   (1) 证明：

   $$\begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= \frac {e^{2x} + e^{-2x} + 2} 4 - \frac {e^{2x} + e^{-2x} - 2} 4 = 1 \end{aligned}$$

   (2) 证明：

   $$\begin{aligned} (\sinh x)' &= \left(\frac {e^x - e^{-x}} 2\right)' \\ &= \frac {e^x + e^{-x}} 2 = \cosh x \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} (\cosh x)' &= \left(\frac {e^x + e^{-x}} 2\right)' \\ &= \frac {e^x - e^{-x}} 2 = \sinh x \end{aligned}$$

4. 求下列函数的导数：

   (1) $f(x) = \sqrt [x] x (x > 0)$

   (2) $f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)$

   (1) 解：

   $$\begin{aligned} \ln f(x) &= \frac {\ln x} x \\ \frac {f'(x)} {f(x)} &= \frac {1 - \ln x} {x^2} \\ f'(x) &= \frac {\sqrt [x] x (1 - \ln x)} {x^2} \end{aligned}$$

   (2) 解：当 $x \not = x_1$ 且 $x \not = x_2$ 且 $\cdots$ 且 $x \not = x_n$ 时，

   $$\begin{aligned} \ln f(x) &= \ln (x - x_1) + \ln (x - x_2) + \cdots + \ln (x - x_n) \\ \frac {f'(x)} {f(x)} &= \frac 1 {x - x_1} + \frac 1 {x - x_2} + \cdots + \frac 1 {x - x_n} \\ f'(x) &= (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) \left (\frac 1 {x - x_1} + \frac 1 {x - x_2} + \cdots + \frac 1 {x - x_n} \right ) \end{aligned}$$

   当 $x = x_1$ 时，

   $$f'(x_1) = \lim_{x \to x_1} \frac {f(x) - f(x_1)} {x - x_1} = (x - x_2)(x - x_3) \cdots (x - x_n)$$

   同理可得当 $x = x_2, x_3, \cdots, x_n$ 时的导数。
   忽略了 $x = x_1, x_2, \cdots, x_n$ 时不能取对数的特殊情况。

5. 在 $\mu$ 满足什么条件下函数 $f(x) = \begin{cases} |x|^\mu \sin \dfrac 1 x, & 当 \, x \not = 0 \, 时 \\ 0, & 当 \, x = 0 \, 时 \end{cases}$，

   (1) 在 $x = 0$ 处连续；

   (2) 在 $x = 0$ 处可导；

   (3) 在 $x = 0$ 处其导函数连续。

   (1) 解：
   $\because$ $\sin \dfrac 1 x$ 有界，且当 $\mu > 0$ 时，$\lim\limits_{x \to 0} |x|^\mu = 0$
   $\therefore$ 此时 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

   (2) 解：要使 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，只需使 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac {f(x) - f(0)} {x}$ 存在。

   $$\lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0)} {x} = \lim_{x \to 0} \frac {|x|^\mu \sin \frac 1 x} {x}$$

   当且仅当 $\mu > 1$ 时，上式 $= 0$.

   (3) 解：当 $x > 0$ 时，$f'(x) = \mu x^{\mu - 1} \sin \dfrac 1 x - x^{\mu - 2} \cos \dfrac 1 x = x^{\mu - 2} (\mu x \sin \dfrac 1 x - \cos \dfrac 1 x)$.
   由 (2) 可得，$f'(0) = 0$
   当且仅当 $\mu > 2$ 时，$\lim\limits_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$，函数 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。
   复合函数求导求错了