首页工科高等代数线性代数行列式

# 前置知识

3.2 n 阶行列式的定义和性质

# 利用范德蒙德行列式

范德蒙德行列式长这样：

Vn=∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)V_n = \begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n - 1} & a_2^{n - 1} & \cdots & a_n^{n - 1} \end {vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j)

例 1.1. 求下列行列式：

∣11⋯1222⋯2n332⋯3n⋮⋮⋱⋮nn2⋯nn∣\begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2^2 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^n \end {vmatrix}

解：注意到这个行列式的各行元素是一个数的不同方幂，方幂次数递升，让我们想到了范德蒙德行列式，但是是从 11 递升至 nn，而标准形式是从 00 递升至 nn，因此我们可以每行都提出一个公因数，转换成标准形式。

∣11⋯1222⋯2n332⋯3n⋮⋮⋱⋮nn2⋯nn∣=n!∣111⋯11222⋯2n−11332⋯3n−1⋮⋮⋮⋱⋮1nn2⋯nn−1∣=n!∏1≤j<i≤n(ai−aj)=n!(2−1)(3−1)⋯(n−1)(3−2)(4−2)⋯(n−2)⋯[n−(n−1)]=n!(n−1)!(n−2)!⋯2!1!\begin {aligned} & \begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2^2 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^n \end {vmatrix} \\ = & n! \begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2^2 & \cdots & 2^{n - 1} \\ 1 & 3 & 3^2 & \cdots & 3^{n - 1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & n & n^2 & \cdots & n^{n - 1} \end {vmatrix} \\ = & n! \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j) \\ = & n! (2 - 1) (3 - 1) \cdots (n - 1) (3 - 2) (4 - 2) \cdots (n - 2) \cdots [n - (n - 1)] \\ = & n! (n - 1)! (n - 2)! \cdots 2! 1! \end {aligned}

# 箭形（爪形）行列式

此类行列式的特征：两边加一条对角线上有元素，其余元素是 00。

计算目标：将第一行或第一列除 a1,1a_{1, 1} 以外的元素全化为 00，转化为三角矩阵。

例 2.2. 求下列行列式：

Δ=∣a0b1b2⋯bnc1a10⋯0c20a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮cn00⋯an∣\Delta = \begin {vmatrix} a_0 & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ c_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ c_2 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \end {vmatrix}

解：当 aia_i 不等于 00，将行列式中第 i+1i + 1 列的 −ciai- \dfrac {c_i} {a_i} 倍加到第一列，即可得到三角矩阵。

Δ=∣a0−∑i=1ncibiaib1b2⋯bn0a10⋯000a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯an∣=∏j=1naj(a0−∑i=1nbiciai)\Delta = \begin {vmatrix} a_0 - \sum\limits_{i = 1}^n \frac {c_i b_i} {a_i} & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end {vmatrix} = \prod_{j = 1}^n a_j \left( a_0 - \sum_{i = 1}^n \frac {b_i c_i} {a_i} \right)

# 加边法（升阶法）

顾名思义，在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变。

适用于具有如下特征的行列式：每行或每列除对角线上元素外分别是某些数的同一倍元。

再经过一系列初等行变换之后会转化成爪形（箭头形）矩阵。

例 3.3. 求下列行列式：

Δ=∣x1b1a2⋯b1anb2a1x2⋯b2an⋮⋮⋱⋮bna1bna2⋯xn∣\Delta = \begin {vmatrix} x_1 & b_1 a_2 & \cdots & b_1 a_n \\ b_2 a_1 & x_2 & \cdots & b_2 a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n a_1 & b_n a_2 & \cdots & x_n \end {vmatrix}

解：使用升阶法解决这个行列式问题。

Δ=∣1a1a2⋯an0x1b1a2⋯b1an0b2a1x2⋯b2an⋮⋮⋮⋱⋮0bna1bna2⋯xn∣=将第1行的−bi倍加至第i+1行∣1a1a2⋯an−b1x1−b1a10⋯0−b20x2−b2a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−bn00⋯xn−bnan∣\begin {aligned} \Delta &= \begin {vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & x_1 & b_1 a_2 & \cdots & b_1 a_n \\ 0 & b_2 a_1 & x_2 & \cdots & b_2 a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b_n a_1 & b_n a_2 & \cdots & x_n \end {vmatrix} \\ & \xlongequal {将第 1 行的 -b_{i} 倍加至第 i + 1 行} \begin {vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -b_1 & x_1 - b_1 a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b_2 & 0 & x_2 - b_2 a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b_n & 0 & 0 & \cdots & x_n - b_n a_n \end {vmatrix} \end {aligned}

随后在利用爪形行列式的计算方法计算。

# 拆项递推法

适用该方法的行列式具有的特征：主对角线上方和下方元素分别全部相同。

计算目标：通过拆项，将其中一列元素拆成一个除了顶角元素以外，全部为 00 的行列式（方便降阶产生形状类似的更小的行列式），和一个其中一列完全相同的行列式（方便提公因数，然后用列相消得到三角矩阵）

例 4.4. 计算下列行列式：

Δn=∣x1aa⋯abx2a⋯abbx3⋯a⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯xn∣\Delta_n = \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & a \\ b & x_2 & a & \cdots & a \\ b & b & x_3 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & x_n \end {vmatrix}

解：

Δn=∣x1aa⋯0bx2a⋯0bbx3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯xn−a∣+∣x1aa⋯abx2a⋯abbx3⋯a⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a∣=(xn−a)Δn−1+a∣x1aa⋯1bx2a⋯1bbx3⋯1⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯1∣=每一列减去最后一列的b倍(xn−a)Δn−1+a∣x1−ba−ba−b⋯10x2−ba−b⋯100x3−b⋯1⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1∣=(xn−a)Δn−1+a∏i=1n−1(xi−b)\begin {aligned} \Delta_n & = \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & 0 \\ b & x_2 & a & \cdots & 0 \\ b & b & x_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & x_n - a \end {vmatrix} + \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & a \\ b & x_2 & a & \cdots & a \\ b & b & x_3 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end {vmatrix} \\ & = (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & 1 \\ b & x_2 & a & \cdots & 1 \\ b & b & x_3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & 1 \end {vmatrix} \\ & \xlongequal {每一列减去最后一列的 b 倍} (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \begin {vmatrix} x_1 - b & a - b & a - b & \cdots & 1 \\ 0 & x_2 - b & a - b & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & x_3 - b & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end {vmatrix} \\ & = (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \prod_{i = 1}^{n - 1} (x_i - b) \end {aligned}

考虑到转置不会改变行列式的值，于是 a,ba, b 互换位置后有：

Δn=(xn−b)Δn−1+b∏i=1n−1(xi−a)\Delta_n = (x_n - b) \Delta_{n - 1} + b \prod_{i = 1}^{n - 1} (x_i - a)

联立两式可解得：

Δn=a∏i=1n(xi−b)−b∏i=1n(xi−a)a−b\Delta_n = \frac {a \prod\limits_{i = 1}^n (x_i - b) - b \prod\limits_{i = 1}^n (x_i - a)} {a - b}

注意：上述方法仅在 a≠ba \not = b 时成立，若 a=ba = b，则符合升阶法所适用的行列式的特点。

# 三对角线形行列式

特点：主对角线与上下两条对角线上有元素，其余为 00。

计算目标：将对角线上下两条线中的某一条的元素全化为 00，或使用递推法。

例 5.5. 求下列行列式：

Δ=∣2100⋯01210⋯00121⋯0⋮⋮⋱⋱⋱⋮00⋯⋱2100⋯⋯12∣\Delta = \begin {vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ddots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 1 & 2 \end {vmatrix}

思路：用下面一行乘以第一行的倍数相加，使最下面对角线元素均为零。最终会得到：

∣2100⋯003210⋯000431⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮00⋯⋯n−1n100⋯⋯0n+1n∣\begin {vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac 3 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac 4 3 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \frac {n - 1} n & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & \frac {n + 1} n \end {vmatrix}

易知 Δ=n+1\Delta = n + 1。

# 证明行列式可以被某一整数整除

例 6.6. 不计算行列式的值，证明行列式：

Δ=∣1221913899908640∣\Delta = \begin {vmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 9 & 1 & 3 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 0 \end {vmatrix}

能被 1818 整除。

证法 11：已知 18=2×918 = 2 \times 9，而第 3,43, 4 行分别能被 99 和 22 整除。

证法 22：容易验证 1998,2196,2394,18001998, 2196, 2394, 1800 都能被 1818 整除，将 Δ\Delta 的第 1,2,31, 2, 3 行分别乘以 1000,100,101000, 100, 10 加到第 44 行，得到上面 44 个数，这意味着第 44 行可被 1818 整除，进而获证。