又昔

# 原函数与不定积分的概念 定义 111：如果对 ∀ x∈I\forall \, x \in I∀x∈I，都有 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)，那么 F(x)F(x)F(x) 就称为 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上的一个 原函数。 注意： 原函数 不一定 存在。例如符号函数 f(x)=sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0f(x) = \mathrm {sgn} (x) = \begin {cases} 1, & x &

# Taylor 多项式 定义 111：设函数 fff 在点 x0x_0x0​ 有直到 nnn 阶的导数，令 Tn(f,x0;x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nT_n (f, x_0; x) = \sum_{k = 0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!} (x - x_0)^k = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \frac {f'

# 矩阵的线性运算（加法 + 数乘） # 矩阵的加法 定义 111（矩阵的加法）：Fm×n\mathbb F^{m \times n}Fm×n 中矩阵 A=(ai,j)m×nA = (a_{i, j})_{m \times n}A=(ai,j​)m×n​ 和 B=(bi,j)m×nB = (b_{i, j})_{m \times n}B=(bi,j​)m×n​ 相加，得到的和是 A+BA + BA+B 矩阵，它的第 (i,j)(i, j)(i,j) 元等于 A,BA, BA,B 的第 (i,j)(i, j)(i,j) 元之和 ai,

# 微分的定义 定义 111：设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0​ 的邻域内有定义，Δx\Delta xΔx 是自变量改变量，如果 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=A⋅Δx+o(Δx)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)=A⋅Δx+o(Δx) 成立（其中 AAA 是与 Δx\Delta xΔx 无关的常数），则称函数 y&#

# 余子式与行列式展开 定理 111： ∣A1,10A2,1A2,2∣=∣A1,1∣∣A2,2∣\begin {vmatrix} A_{1, 1} & 0 \\ A_{2, 1} & A_{2, 2} \end {vmatrix} = |A_{1, 1}| |A_{2, 2}| ​A1,1​A2,1​​0A2,2​​​=∣A1,1​∣∣A2,2​∣ 例 1.1.1. 计算： Δ=∣−10000∗2300∗4500∗∗∗13∗∗∗25∣\Delta = \begin {vmatrix} -1 & 0 & 0 &a

# 前置知识 2.6 子空间 # 线性方程组唯一解的条件 我们已知，线性方程组 Ax=bAx = bAx=b 有唯一解的条件是：系数矩阵 AAA 线性无关。 定理 111：设 α1,⋯ ,αn∈Fn×1\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in F^{n \times 1}α1​,⋯,αn​∈Fn×1，Δ\DeltaΔ 是从左向右依次以 α1,⋯ ,αn\alpha_1, \cdots, \alpha_nα1​,⋯,αn​ 为列组成的行列式，则： {α1,⋯ ,αn}\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}{α1​,⋯,α

# 前置知识 3.2 n 阶行列式的定义和性质 # 利用范德蒙德行列式 范德蒙德行列式长这样： Vn=∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)V_n = \begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \dd

# 排列 定义 111（排列）：由 1,2,⋯ ,n1, 2, \cdots, n1,2,⋯,n 按任意顺序重新排列而成的有序数组 (j1,j2,⋯ ,jn)(j_1, j_2, \cdots, j_n)(j1​,j2​,⋯,jn​) 称为一个 nnn 元排列。 注意： nnn 元排列的总数为 n!n!n!； 将 1,2,⋯ ,n1, 2, \cdots, n1,2,⋯,n 按从小到大的顺序得到的排列 (12⋯n)(1 2 \cdots n)(12⋯n) 称为 标准排列。 在任意一个排列 (j1j2⋯jn)(j_1 j_2 \cdots j_n)(j1​j2​⋯jn​) 中，可

# 洛必达法则 1（00\frac 0 000​ 型） 定理 111：设 f,gf, gf,g 在区间 (x0,x0+δ)(x_0, x_0 + \delta)(x0​,x0​+δ) 有定义，g(x)≠0g(x) \not = 0g(x)=0，满足： lim⁡x→x0+f(x)=0,lim⁡x→x0+g(x)=0\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = 0, \lim\limits_{x \to x_0^+} g(x) = 0x→x0+​lim​f(x)=0,x→x0+​lim​g(

# 前置知识 4.5 微分中值定理 # 单调性 定理 111： f∈C[a,b]f \in C[a, b]f∈C[a,b]，在 (a,b)(a, b)(a,b) 可导，则 fff 在 [a,b][a, b][a,b] 上递增（减）⇔\Leftrightarrow⇔ f′(x)≥0(≤0),x∈(a,b)f'(x) \ge 0 (\le 0), x \in (a, b)f′(x)≥0(≤0),x∈(a,b)。 证明：⇒\Rightarrow⇒（必要性）：对任意 x∈(a,b),x+h∈(a,b)x \in (a, b), x + h \in (a, b)x∈(a,b),x+h∈(a,b