又昔

# 题目描述 现在有 nnn 只水獭站成一排。 水獭们的身高参差不齐，看上去十分混乱。为了让队伍看上去更加整齐，Moca 决定帮助小水獭们按身高从矮到高重新排列。 # 输入格式 第一行一个正整数 nnn，表示小水獭的个数，保证 1≤n≤20001 \le n \le 20001≤n≤2000。 第二行 nnn 个正整数，表示每只小水獭的身高 aia_iai​，保证 1≤ai≤231−11 \le a_i \le 2^{31} − 11≤ai​≤231−1。 # 输出格式 第一行，将水獭们的身高从小到大排序，相邻的两个整数用一个空格隔开。 第二行一个浮点数，表示水獭们身高的中位数，保留到小数点后

# 题目描述 小懒獭创造了一种独特的向量运算方式，她称之为 反向点积。反向点积是指将两个向量的元素按特定的方式反向相乘并求和。对于给定的两个长度相同的向量 AAA 和 BBB，小懒獭想知道它们的反向点积是多少。 具体来说，对于向量 A=(a0,a1,⋯ ,,an−1)A = (a_0, a_1, \cdots,, a_{n - 1})A=(a0​,a1​,⋯,,an−1​) 和 B=(b0,b1,⋯ ,bn−1)B = (b_0, b_1, \cdots, b_{n - 1})B=(b0​,b1​,⋯,bn−1​)，小懒獭的反向点积定

# 费马引理 定义 111（极大极小值）： 设 x0∈Ix_0 \in Ix0​∈I，如果存在 U(x0,δ)⊂IU(x_0, \delta) \sub IU(x0​,δ)⊂I，若对 ∀x∈U(x0,δ)\forall x \in U(x_0, \delta)∀x∈U(x0​,δ)，总有 f(x0)≥f(x)f(x_0) \ge f(x)f(x0​)≥f(x)，称 f(x0)f(x_0)f(x0​) 是 fff 在 III 上的 极大值，x0x_0x0​ 成为极大值点；若对 ∀x∈U(x0,δ)\forall x \in U(x_0, \delta)∀x∈U(x0​,δ)，总有 f(x0)≤

# 高阶导数的定义 定义 111： 如果函数 f(x)f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x)f′(x) 仍可导，即 (f′(x))′=lim⁡Δx→0f′(x+Δx)−f′(x)Δx(f'(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f'(x + \Delta x) - f'(x)} {\Delta x} (f′(x))′=Δx→0lim​Δxf′(x+Δx)−f′(x)​ 则称 (f′(x))′(f'(x))'(f′(x))′ 为函数 f(x)f(x)f(

# 隐函数的导数 定义 111： 若方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 对 ∀x∈I\forall x \in I∀x∈I，总存在唯一的 yyy 使得方程成立，则称该方程确定了一个隐函数。 隐函数求导法则： 用复合函数求导法则直接对方程两边求导。 例 111. 求由方程 xy−ex+ey=0xy - e^x + e^y = 0xy−ex+ey=0 所确定的隐函数 y=y(x)y = y(x)y=y(x) 的导数 dydx,dydx∣x=0\dfrac {\math

# 子集生成的子空间 定义 111： 向量空间 FnF^nFn 的非空子集 WWW 如果满足以下两个条件： u,v∈W⇒u+v∈W,u, v \in W \Rightarrow u + v \in W,u,v∈W⇒u+v∈W, u∈W,λ∈F⇒λu∈Wu \in W, \lambda \in F \Rightarrow \lambda u \in Wu∈W,λ∈F⇒λu∈W 就称 WWW 是 FnF^nFn 的 子空间。如果 FnF^nFn 的子空间 W1W_1W1​ 是子空间 W2W_2W2​ 的子集，则称 W1W_1W1​ 是 W2W_2W2​ 的子空间。 定义 222： 设 W

# 几个问题 我们先来看几个问题： 例 111. 求向量 e1=(1,0,0)e_1 = (1, 0, 0)e1​=(1,0,0) 在 F3F^3F3 的基 T={α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,4,9)}T = \{ \alpha_1 = (1, 1, 1), \alpha_2 = (1, 2, 3), \alpha_3 = (1, 4, 9) \}T={α1​=(1,1,1),α2​=(1,2,3),α3​=(1,4

# 一个问题 FnF^nFn 中最多有多少线性无关的向量？ 在思考这个问题之前，我们先来证几个定理： 定理 1： 设 u1,⋯ ,umu_1, \cdots, u_mu1​,⋯,um​ 是 nnn 维向量空间 FnF^nFn 中的 mmm 个向量，如果 m>nm > nm>n，则 u1,⋯ ,umu_1, \cdots, u_mu1​,⋯,um​ 线性相关。 证明： 考虑关于 FFF 中 mmm 个未知数 λ1,⋯ ,λm\lambda_1, \cdots, \lambda_mλ1​,⋯,λm​ 的方程 λ1u1+⋯+λmum=0(1)\lambda_1 u_1

# 导数的四则运算 定理 1： 如果函数 u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 在区间 III 可导，则它们的和、差、积、商也可导，并且 [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)[u(x)⋅v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)(v(x)≠0)[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \\ [u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v

# 导数与单侧导数 定义 1 导数： 设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某邻域内有定义，如果极限 lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {\Delta y} {\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)} {\Delta x}Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​